Los números cuánticos aparecen en las soluciones de la ecuación de Schrödinger.

En1926 Erwin Schrödinger formula la llamada ecuación de onda de Schrödinger, que describe el comportamiento y la energía de las partículas submicroscópicas. Es una función que incorpora tanto el carácter de partícula (en función de la masa) como el carácter de onda en términos de una función de onda Y

Podemos pensar en las soluciones de la ecuación de onda de Schrödinger son ondas estacionarias de diferente energía.

El ejemplo del movimiento de una cuerda de guitarra nos ayudará a comprender el concepto de onda estacionaria. La cuerda de guitarra vibra pero no se desplaza, por eso es estacionaria.

Un nodo es un punto que no se mueve.  La longitud de la cuerda tiene que ser un múltiplo del valor de media longitud de onda, ya que en los dos extremos de la cuerda que están fijos debe haber un nodo. Por tanto solo van a ser posibles ciertos estados a los que podemos asignar un valor del número n.

El valor de la función de onda al cuadrado (y²) representa la distribución de probabilidad de encontrar al electrón en cierta región del espacio, también denominado densidad electrónica. 
La ecuación de Schrödinger inició una nueva era para la física y la química, y abrió un nuevo campo: él de la mecánica cuántica también conocido como mecánica ondulatoria.
Descripción mecánico cuántica del átomo: Orbitales y números cuánticos
Mientras que en el modelo de Bohr se hablaba de órbitas definidas en  el modelo de Schrödinger sólo podemos hablar de las distribuciones probables para un electrón con cierto nivel de energía. Así para el electrón del átomo de hidrógeno en el estado fundamental la probabilidad de la distribución se refleja en la siguiente figura, dónde la intensidad del color rojo indica una mayor probabilidad de encontrar al electrón en esa región, o lo que es lo mismo una mayor densidad electrónica.

De la resolución de la ecuación de onda de Schrödinger se obtiene una serie de funciones de onda (ó probabilidades de distribución de los electrones) para los diferentes niveles energéticos que se denominan orbitales atómicos.
Mientras que el modelo de Bohr utilizaba un número cuántico (n) para definir una órbita el modelo de Schrödinger utiliza tres números cuánticos para describir un orbital: n, l y m_l . A continuación vemos las características de estos números:
Número cuántico principal “n”

• Toma valores enteros: 1,2,3...
• A mayor n más lejos se encuentra del núcleo la región de mayor densidad electrónica.
• A mayor n el electrón tiene mayor energía y se encuentra menos “atado” al núcleo.

Número cuántico del momento angular ó azimutal ó secundario  : "l  "

• Depende de “n” y toma valores enteros  de 0 a (n-1) . Así para n=1 sólo hay un valor posible 0. Para n=2 hay dos valores de l: 0 y 1. Para n=3 hay tres valores posibles: 0, 1 y 2.
• Generalmente el valor de l se representa por una letra en vez de por su valor numérico:

l	0	1	2	3	4
nombre del orbital	s	p	d	f	g

• Define la forma del orbital

El número cuántico magnético “m_l”

• El valor del número cuántico magnético depende de l    . Toma valores enteros entre -l y l , incluyendo el 0. Para cierto valor l hay (2 l +1) valores de m_l
• Describe la orientación del orbital en el espacio.  

Veamos los diferentes orbitales que podemos tener para n=3. Tendremos entonces tres valores de l : 0,1 y 2. Los valores de ml para cada valor de l se compilan en la tabla siguiente:  (los orbitales que comparten los valores de n y l se dicen que pertenecen al mismo subnivel y todos los orbitales con el mismo n formarían un nivel)

(define la forma)	Subnivel	ml (define orientación)	Nº de orbitales en el subnivel
0	3s	0	1
1	3p	-1,0,1	3
2	3d	-2,-1,0,1,2	5

Representaciones de los Orbitales
Orbitales s
El orbital 1s tienen simetría  esférica:

Representado y² frente a la distancia al núcleo (r) vemos que la probabilidad de encontrar al electrón disminuye conforme aumenta r . Esto indica que en el estado fundamental la atracción electrostática del núcleo es lo suficientemente fuerte para mantener al electrón en un radio próximo al núcleo.

Los orbitales s de niveles superiores son también esféricamente simétricos ,pero presentan nodos en la función de probabilidad:  

  

• En un  nodo la densidad electrónica se aproxima a 0. El orbital 2s tiene un nodo, el orbital 3s dos nodos..etc
• Los orbitales s para n>1 tienen una densidad electrónica en la cual es más probable encontrar al electrón lejos del núcleo.
• El tamaño del orbital s aumenta al aumentar el número cuántico principal (n).

Generalmente se representan los límites de los orbitales atómicos de Schrödinger de manera que el orbital englobe al 90% de la distribución de densidad electrónica. En el caso de los orbitales s la representación es una esfera, de mayor radio cuánto mayor sea n.

  Orbitales p

• La forma de los orbitales p es de dos lóbulos situados en lados opuestos al núcleo y con un nodo en él.
• Hay tres tipos de orbitales p (l = 1; m_l= -1,0,1) que difieren en su orientación. No hay una correlación simple entre los tres números cuánticos magnéticos y las tres orientaciones: las direcciones x, y y z. Los orbitales p del nivel n se denominan np_x, np_y, np_z
• Los orbitales p al igual que los s aumentan de tamaño al aumentar el número cuántico principal.

Orbitales d
En el tercer subnivel tenemos 5 orbitales atómicos (para n>3 l =2; m_l=-2,-1,0,1,2) con diferentes orientaciones en el espacio tal y como vemos en la figura :

Aunque el orbital 3d_z2 difiere en su forma de los otros cuatro, los cinco orbitales d tienen todos la misma energía.