Una paloma cuántica que yo tenía

Ha salido otro artículo en el que se muestra que la cuántica tiene la dichosa manía de patear nuestro sentido común.

Esta vez es el turno del principio del palomar.

En esta entrada vamos, en un primer paso, a refrescar nuestra memoria acerca de este principio, muy brevemente porque hay sitios donde ha sido tratado mucho mejor de lo que podríamos hacerlo aquí.  Posteriormente discutiremos el artículo colgado en arXiv:

The quantum pigeonhole principle and the nature of the quantum correlations(El principio del palomar cuántico y la naturaleza de las correlaciones cuánticas)

donde se describe como la cuántica desafía este maravilloso principio matemático.

Palomas y palomares

Vamos a tratar el Principio del Palomar.

Bajo ese nombre tan de andar por casa se esconde una poderosa herramienta que se utiliza profusamente en problemas de conteo, de organización y de combinatoria.  Su raíz está en la base de nuestro entendimiento del concepto de número y de individualidad así que parece complicado que algo no satisfaga este principio tan básico.

El principio en cuestión se puede definir como sigue:

Si tenemos tres palomas y dos palomares, en un palomar tendremos que poner dos palomas.

La lógica de esa afirmación es aplastante, su veracidad parece que está fuera de toda duda.  Por supuesto, la definición se puede generalizar a números arbitrarios de palomas y palomares.

Ilustración de Raquel Garcia Ulldemolins.

Si queréis profundizar en este principio y sus usos os recomiendo esta entrada de Mati:

En principio 44 palomas

donde podréis encontrar toda una explicación del principio y varios tipos de problemas que se pueden solucionar con el mismo y todo de la mano de Mati, Sal y Ven. Leed y disfrutad.

Empezando por el final

Si tienes un poco de prisa, la conclusión que queremos remarcar del artículo que motiva esta entrada es la siguiente:

Cuánticamente podemos poner tres partículas en dos cajas sin que podamos medir en ninguna de las cajas   dos partículas al mismo tiempo

En mi opinión este no es más que otro de los efectos (chulos) de la cuántica que se puede extraer del famoso problema de la medida.  No es un trabajo sustancial, al menos no en los fundamentos de la cuántica, pero es bonito y sorprendente. Y además, podemos aprovechar para revisitar algunos problemas asociados al tema este de la cuántica.

Advertencia:  Ahora nos vamos a meter un poco en farragosos argumentos cuánticos así que si quieres dejar de leer todo lo importante ya ha sido dicho. Si sigues es bajo tu estricta responsabilidad.

Aquí y allí, aquí o allí

Supongamos que tenemos en el suelo unos ejes ortogonales y que en dichos ejes vamos a situar puntos. Exactamente lo mismo que haríamos al jugar a los barquitos.

Nuestro tablero de juego será un cosa así:

Ahora supongamos que alguien pone un punto en el suelo:

En nuestro mundo clásico (sin que apliquen las reglas de la cuántica) podremos decir que el punto está situado en la posición (2,3).  No hay ningún problema con ello.

El problema viene cuando nos piden la posición del punto en un mundo cuántico.

En cuántica no hay ningún problema en situar una partícula en el punto (2,3) en la dirección vertical y la dirección horizontal respectivamente.  Lo extraño ocurre cuando intentamos medir la posición de dicho punto. Si nos empeñamos en medir dicha posición encontraremos el punto o bien en:

O bien en:

Es decir, nunca veremos el punto como una combinación de información horizontal y vertical.  Lo veremos o bien en la dirección horizontal o bien en la vertical.  ¿Cómo sabemos dónde encontraremos el punto al mirar su posición? No lo sabemos, lo único que nos permite la cuántica es calcular con qué probabilidad lo encontraremos en un eje o en el otro, pero nunca nos dará una seguridad absoluta.

Si queréis jugar con gatos vivos y muertos, imaginad que el eje horizontal corresponde a un gato vivo y el vertical a un gato muerto.  Si ponemos el punto en una situación intermedia lo que nos indica es que el estado del gato combina información vivo/muerto, pero al observar (al medir la caja) lo veremos en un eje u otro, es decir, o vivo o muerto, pero nunca en el estado original superpuesto.  Esta es la verdadera magia de la cuántica y una de las diferencias esenciales con la física clásica en la que nos desenvolvemos a diario.

¿Qué han hecho en el artículo?

En el artículo en cuestión lo que han hecho es lo siguiente:

1.-  Han definido el estado de tres partículas en dos “cajas” (posiciones) diferentes.  Tenemos las partículas 1, 2 y 3 y las cajas L y R (izquierda y derecha, del inglés left y right).

2.-  Luego han estudiado el sistema mirando lo que le ocurre a cada par de partículas 1-2, 1-3, 2-3.  En realidad basta con estudiar una sola pareja porque el resto de combinaciones se comportan igual, por ejemplo la pareja 1-2.

3.-  Preparan la situación inicial para que la probabilidad de encontrar al par 1-2 en la misma caja o en cajas diferentes sea del 50%.

4.-  Una vez medida la situación inicial, tal y como hemos explicado antes, tendremos que las partículas 1-2 están o bien en la misma caja o bien en cajas distintas. p

Los resultados posibles están en la siguiente figura, la probabilidad de estar en la misma caja (ya sea L o R) o en cajas diferentes es del 50% en cada caso:

El punto gordo de la demostración de que hay situaciones en las que ambas partículas tienen que estar siempre en cajas distintas es un detalle técnico, el caso es que se puede demostrar esa situación.  El nudo de la idea estriba en hacer uso de los números complejos.  La cuántica admite dichos números para describir situaciones físicamente realizables de los sistemas y se las apaña para que los resultados de las medidas sean siempre números reales que son los únicos que entienden nuestros aparatos de medida (y nosotros también en cuestiones cuantitativas útiles).

Lo que hacen los físicos que han trabajado en este tema es duplicar los ejes correspondientes a las cajas L y R gracias al número complejo por excelencia, la unidad imaginaria .  El efecto de multiplicar los ejes por dicha  es el de construir un par nuevo de ejes que son ortogonales a los dos anteriores. Es difícil dibujar eso (son cuatro ejes ortogonales entre sí) pero nos podemos hacer una idea con esto:

Seleccionando de forma adecuada los estados en los ejes imaginarios se puede mostrar que hay situaciones en los que las partícula 1 y 2 nunca pueden estar en la misma caja.  Pero resulta que este resultado es independiente del par de partículas que elijamos, es decir, se verifica a la vez para todos los pares posibles. 1-2, 1-3, 2-3.  Por lo tanto, se concluye que ninguna de esas tres partículas está en la misma caja al mismo tiempo.

Esto no es más que una cuestión técnica de la cuántica, como muchas otros efectos sorprendentes. Los autores dicen que todo esto puede tener implicaciones en nuestra forma de entender correlaciones, entrelazamientos e interacciones, tendremos que esperar a ver que sale de todo esto.  Lo que es innegable es que es un hecho interesante y entretenido.  Si estás estudiando cuántica o la has estudiado es muy recomendable intentar reproducir los cálculos en los que se basa el artículo, puede ser un ejercicio interesante y entretenido para estos días aciagos del estío.

Nos seguimos leyendo…